sexta-feira, 9 de novembro de 2012

Proporções Aplicadas no Teorema de Tales



Teorema das retas paralelas cortadas por transversais
 


O teorema proposto por Tales de Mileto leva em consideração que retas paralelas cortadas por retas transversais originam segmentos proporcionais.




No esquema as retas a, b e c são paralelas e as retas r e r’ são as transversais. De acordo com o Teorema, temos as seguintes situações:




A situação envolve conhecimentos de razão e proporção, o segmento AB é proporcional ao segmento BC; o segmento A’B’ é proporcional ao segmento B’C’, como descrito na 1º situação. Lembremos que esse tipo de proporção é resolvido através de uma multiplicação cruzada.

Exemplo 1 

Na ilustração a seguir as retas r, s e t paralelas são intersectadas pelas retas transversais a e b, formando segmentos proporcionais. Aplique o Teorema de Tales e determine o valor do segmento representado por x.

Exemplo 2 
Aplique a propriedade do Teorema de Tales e determine o valor da incógnita x.
O Teorema de Tales possui diversas aplicações no cálculo de distâncias inacessíveis. A determinação aproximada de distâncias entre os corpos no sistema solar é feita com utilização da proporcionalidade. 


Postado por: Beatriz e Paula.

Uma equação de 2º grau quando conhecemos as duas raízes.


Vamos determinar a função que passa por dois pontos. Para isso, precisamos encontrar as coordenadas destes dois pontos, sendo que a coordenada y’ é determinada pelo valor da função na coordenada x’ (x1, f(x1)), (x2, f(x2)).

Pela definição de função afim, temos que ela é determinada pela seguinte expressão f(x)=ax+b, ou seja, para determinar tal função, basta encontrarmos os coeficientes a, b. Veremos que para descobrir estes coeficientes precisamos apenas de dois pontos e o valor da função nesses pontos.

Antes de mostrarmos a expressão do caso geral, vejamos como proceder em um exemplo.
Com f(1)=4 e f(2)=6, temos, então, dois pontos e os valores da função nestes pontos.
Para f(1) temos: f(1) = 4 = a.1+b
Para f(2) temos: f(2) = 6 = a.2+b
Destacaremos essas duas relações de igualdade:

6=2a+b (-), se subtrairmos uma igualdade da outra, teremos o seguinte resultado:
4=a+b   
2=a,       ou seja, a é igual a 2. Descobrimos o valor de um dos coeficientes. Para encontrarmos o outro, basta substituirmos o resultado em uma das igualdades. Usaremos a segunda:
4=a+b
como a=2 teremos ,  4=2+b  assim teremos,  b=2
Como f(x)=ax+b e a=2 e b=2, temos que esta função, para f(1)=4  e f(2)=6, será a seguinte:
f(x)=2x+b.
Mas este é o processo realizado para um caso específico. Como seria a expressão para determinarmos os valores dos coeficientes de qualquer função? Veremos agora.

Seja y1=f(x1) e y2=f(x2), sendo estes pontos, pontos distintos. Teremos que a expressão destes pontos será dada da seguinte forma:
y1=f(x1)=ax1+b
y2=f(x2)=ax2+b, faça a subtração da expressão debaixo pela de cima. Com isso, teremos:

Expressão obtida após a subtração das duas equações.
Tendo a expressão para o coeficiente a, substituiremos a expressão para esse coeficiente em y1.
Obtendo a expressão para o coeficiente (b)

Desta forma, veja que as expressões para os coeficientes a, b, são determinadas apenas pelos valores dos pontos, valores estes que conhecemos.
Com isso, vimos que é possível determinar uma função afim, conhecendo apenas os valores de dois pontos.

Postado por: Beatriz, Paula, Irivaneide, Ianka, Sabrina e Gleyciane.

Raiz de uma Equação do 2º Grau


As equações do tipo ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes numéricos pertencentes ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0, são denominadas equações do 2º grau. Como toda equação, elas possuem como resultado, um conjunto solução denominado raiz. O diferencial dessas equações em relação às do 1º grau, é que elas podem ter três soluções diferentes de acordo com o valor do discriminante, representado pela letra grega ∆ (delta). Observe:

∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas.

∆ = 0, a equação possui raízes reais iguais.

∆ < 0, a equação não possui raízes reais. 

A resolução de uma equação do 2º grau depende do valor de delta e de uma expressão matemática associada ao indiano Bháskara. Essa expressão consiste num método eficiente de resolução desse modelo de equação, com base nos coeficientes numéricos.

Fórmula resolutiva de uma
equação do 2º grau 

Exemplo 1


S = (x Є R / x = –2 e x = 5} 

Exemplo 2 
S = (y Є R / y = 2/3} 


Exemplo 3 
S = { } → conjunto vazio 



Postado por: Paula,  Beatriz,  Ianka,  Irivaneide,  Sabrina,  Gleyciane.